等双轴拉伸下柔性电子器件中“岛效应“的理论模型

一、 研究背景与问题提出

柔性可拉伸电子技术是当前的前沿领域，其在生物医疗、可穿戴设备、软体机器人等方面具有广泛应用前景。其中，“岛-桥"结构是一种关键设计策略：将功能强大的刚性电子元件（如芯片、传感器）作为“岛屿"集成在柔软的弹性基底上，并通过可大幅拉伸的蛇形“桥梁"进行连接。然而，这种“刚柔并济"的结构存在一个核心力学问题——岛效应。即当基底被拉伸时，由于刚性岛与软基底之间的巨大模量差异，变形无法均匀传递，导致在岛屿边缘界面处产生严重的应变集中。这种局部高应变极易引起界面脱粘、材料撕裂等失效，严重制约了整个器件系统的拉伸性和可靠性。

尽管已有研究观察到了这一现象，但对于其内在机理，尤其是在等双轴拉伸这一复杂载荷下的定量预测模型，仍缺乏系统的理论阐述。因此，建立一个能够准确预测岛效应下的变形和应变分布的理论模型，对于指导柔性电子器件的优化设计至关重要。

二、 研究内容与方法

本研究聚焦于岛效应，旨在建立一个普适的标度律，用于预测在等双轴拉伸下，基底表面的位移和应变分布。研究结合了三种方法：

1. 理论建模：从具有几何对称性的基本单元（方形基底+中心圆形刚性岛）出发，建立理论分析框架。

2. 数值模拟：利用有限元分析进行参数化研究和模型验证。

3. 实验验证：通过等双轴拉伸试验和数字图像相关技术，定量测量变形场，与理论预测进行对比。

三、 核心发现与理论模型

1. 关键控制参数：通过量纲分析和参数研究，论文明确指出，归一化的岛半径与基底半长之比（R/L） 是决定岛效应变形场的关键参数。当岛屿模量远大于基底（E_i / E_s ≥ 10）时，施加的应变大小、基底的本构模型（线弹性或超弹性）对归一化的变形模式影响甚微。

2. 位移与应变标度律：

基于位移场的对称性和周期性特征，研究建立了以三角函数为核心的位移标度律解析表达式。位移场由几个特征参数（如平均径向位移、扰动幅值等）描述。

这些特征参数均可表示为 R/L 和 r/L （归一化径向坐标）的函数，并通过拟合有限元数据，得到了具体的经验公式。

通过对位移表达式进行微分，进一步推导出了径向、环向及剪切应变分量的完整解析解。

3. 轴对称简化准则：研究发现，当岛屿较小时，变形场近似轴对称（与角度θ无关）；当岛屿较大时，角度的影响不可忽略。为此，论文提出了一个清晰的判据：当 R/L ≤ 0.2587 时，问题可简化为轴对称问题，标度律方程可大幅简化，且与经典弹性理论解高度吻合。

4. 模型适用范围：该标度律模型成立需满足几个条件：

基底可简化为平面应力状态（厚度远小于平面尺寸）。

岛屿可视为刚性（E_i / E_s ≥ 10）。

归一化岛半径 R/L < 0.81 （临界阈值）。

四、 模型验证与应用拓展

1. 验证：

边界条件满足性：理论模型预测的位移场能很好地满足岛屿界面无位移和基底边界等位移的边界条件。

与FEA和实验对比：针对不同R/L值（如0.3, 0.5），标度律的预测结果与有限元模拟及DIC实验测量结果均高度一致，成功捕捉到了岛屿边缘的应变集中现象。

2. 向周期性阵列的拓展：

对于实际器件中常见的周期性岛屿阵列，论文引入了面积覆盖率（η） 的概念。

研究揭示，应变集中程度主要由面积覆盖率η决定。一个由多个小岛屿组成的阵列与一个具有相同η的单个大岛屿，所产生的宏观应变集中水平是等效的。这为设计师提供了灵活性：可以根据电子元件的实际尺寸来排布岛屿的大小和布局，从而在最小化应力集中和表面利用率之间取得平衡。

五、 结论与意义

本研究成功发展了一个用于预测等双轴拉伸下岛效应的理论模型。该模型的核心贡献在于：

明确了R/L的核心主导作用，将复杂的力学问题参数化。

提供了位移和应变分布的显式解析表达式（标度律），具有强大的预测能力。

给出了实用的轴对称简化判据，便于工程应用。

将模型从单岛推广到岛阵列，极大地增强了其实用价值。